Inaugural - Dissertation
vorgelegt von
Klaus Kansy
aus Lippstadt
Angefertigt mit Genehmigung der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Bonn
Referent: Prof. Dr. F. Krückeberg
Korreferent: Prof. Dr. H. Unger
Tag der Promotion: 6.7.1972
Symbole und Abkürzungen
1. Grundlegende Begriffsbildungen
1.1 Intervallarithmetische Grundoperationen
1.2 Intervallfunktionen
1.3 Intervallpolynome
2. Kalkül der Intervallpolynome
2.1 Formaler Kalkül
2.2 Inklusionsmonotoner Kalkül
2.3 Ableitungsverträglichkeit
2.4 Ableitungsverträglicher Kalkül
3. Verallgemeinerte Intervallpolynome
3.1 Motivation
3.2 Inklusionsmonotoner Kalkül
3.3 Ableitungsverträglichkeit
3.4 Ableitungsverträglicher Kalkül
4. Darstellung verallgemeinerter ableitungsverträglicher Intervallpolynome
4.1 Fehlererfassung bei der Hermite-Interpolation
4.2 Der Satz von Peano
4.3 Monotonie-Satz
4.4 Zwei-Punkte-Hermite-Interpolation
5. Numerische Beispiele
Literaturverzeichnis
Die Intervallanalysis wurde konzipiert, um alle Fehler sicher zu erfassen. Dabei ist das Inklusionsprinzip von grundlegender Bedeutung : Die zu untersuchenden Objekte werden in der Intervallanalysis derart dargestellt, daß zwischen Objekt und Darstellung eine Inklusionsbeziehung gültig ist. Daher ist ein intervallarithmetischer Kalkül nur dann sinnvoll, wenn er mit dieser Inklusionsbeziehung verträglich ist. Ein Kalkül, der diese Bedingung erfüllt, heißt inklusionsmonoton.
Betrachtet man als spezielle Objekte reelle Funktionen, so sind. hier nicht nur eine Inklusionsdarstellung der Funktionen selbst, sondern auch Inklusionsdarstellungen der Ableitungen von größtem Interesse. Das führt zu dem Begriff der ableitungsverträglichen Einschließung und des ableitungsvertráglichen Kalküls.
In Kapitel 1 der vorliegenden Arbeit werden die wichtigsten Grundbegriffe der Intervallanalysis bereitgestellt. Darauf aufbauend wird in Kapitel 2 der formale Kalkül der Intervallpolynome definiert und hinsichtlich der Inklusionsmonotonie und Ableitungsverträglichkeit analysiert.
Bei einigen Verknüpfungen des formalen Kalküls werden Abhängigkeiten verschenkt, da diese bei den intervallaritnmetischen Grundoperationen nicht berücksichtigt werden. Bei der Untersuchung des Kalküls erweist es sich, daß diese Nichtberücksichtigung von Abhängigkeiten notwendig ist, um lnklusionsmonotonie und Ableitungsverträglichkeit zu gewährleisten. Bei der Substitution muß sogar zusätzlich gefordert werden, daß bei der Berechnung nicht der numerisch günstigste Algorithmus benutzt wird, weil sonst die Ableitungsverträglichkeit verloren geht.
In Kapitel 3 werden verallgemeinerte Intervallpolynome betrachtet. Verallgemeinerte Intervallpolynome sind von Krückeberg [10] eingeführt worden. Wie bei den gewöhnlichen Intervallpolynomen kann auch hier der Begriff der Inklusionsmonotonie eingeführt werden und ein inklusionsmonotoner Kalkül gefunden werden. Die Definition der Ableitungsverträglichkeit jedoch bereitet Schwierigkeiten, weil die formale Differentiation und Integration im allgemeinen nicht sinnvoll ist.
In Abschnitt 2.3 werden für die Ableitungsverträglichkeit bei den gewöhnlichen Intervallpolynomen verschiedene Charakterisierungen angegeben, die sich leichter verallgemeinern lassen. In Abschnitt 3.3 wird daraufhin eine verallgemeinerte ableitungsverträgliche Polynomeinschließung durch n-fache Integration mit allgemeinen Integrationskonstanten erzeugt. Dies führt auf das Problem der Hermite-Interpolation und der Fehlerdarstellung für Ableitungen bei der Hermite-Interpolation, das in Kapitel 4 behandelt wird.
In Abschnitt 4.2 wird ein Satz von Peano zitiert, der eine exakte Fehlerdarstellung liefert. Der Fehler wird durch ein Integral über eine komplizierte Kernfunktion dargestellt, das intervallarithmetisch nicht sinnvoll ausgewertet werden kann.
In Abschnitt 4.1 wird eine numerisch einfachere Formel hergeleitet, die bei der allgemeinen Hermite-Interpolationsaufgabe für sämtliche in Frage kommenden Ableitungen eine exakte kontinuierliche Fehlereinschließung liefert. Aus theoretischen Gründen kann eine Fehlerformel, die nur arithmetische Grundoperationen enthält, bei der Hermite-Interpolation nicht scharf sein. Dennoch liefert diese Formel realistische Fehlerabschätzungen. Sie ist zudem eine wesentliche Verschärfung und Weiterentwicklung der Fehlerformel, die Ciarlet, Schultz, Varga [4] für gewisse Ableitungen bei der 2-Punkte-Hermite-Interpolation aufgestellt haben.
Kapitel 5 enthält mehrere numerische Beispiele für die Hermite-Interpolation und für die ableitungsverträgliche Multiplikation, die die Tragfähigkeit der neuen Formeln demonstrieren.
Eine weitere Reduktion des Fehlers läßt sich erreichen, wenn man für f(n) nicht nur eine Einschließung durch ein Intervall, sondern durch ein nichtkonstantes Intervallpolynom besitzt. Allerdings wird die Fehlerdarstellung in diesem Fall wesentlich komplizierter.
In Abschnitt 4.3 werden Monotoniebeziehungen zwischen f und f(n) aufgezeigt, wodurch die intervallarithmetische Problemstellung auf zwei Punktprobleme zurückgeführt werden kann.
In Abschnitt 4.4 wird für einen Spezialfall ein expliziter Algorithmus angegeben, der im wesentlichen in der Invertierung einer (2k+1)-Diagonal-Matrix besteht. Der Algorithmus wurde bei der iterativen Lösung einer Randwertaufgabe numerisch erprobt.
Die Beispiele wurden auf der IBM /370-165 der Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeitung, Bonn, unter Benutzung eines Programmsystems [8] gerechnet, das im Institut für Numerische Datenverarbeitung der GMD entwickelt worden ist.
Eine pdf-Version der Dissertation (66 Seiten) kann beim Autor angefordert werden.
Ein wesentliches Resultat (Abschnitt 4.1) wurde unterKontakt: klaus.kansy @arcor.de
last edit: 2017-01-05