EIN INTERVALLARITHMETISCHES VERFAHREN ZUR BESTIMMUNG ALLER NULLSTELLEN EINER FUNKTION IN EINEM REELLEN INTERVALL

Diplomarbeit von Klaus Kansy

Bonn 1969

Inhaltsverzeichnis

I. EINLEITUNG

II. EINIGE BEMERKUNGEN ZUM NEWTON-VERFAHREN

III. DAS VERFAHREN
1. Allgemeine Beschreibung
2. Konvergenzaussagen
3. Praktische Erfahrungen

IV. MÖGLICHKEITEN ZUR ERWEITERUNG DES VERFAHRENS
1. Einschließung durch konstante Intervallpolynome
2. Bestimmung der Nullstellen einer Abbildung f : Rn --> Rm
3. Verbesserung der Ergebnisintervalle
4. Verbesserung der Polynomeinschließung

V. LITERATURVERZEICHNIS

EINLEITUNG

In dieser Arbeit wird ein intervallarithmetisches Iterationsverfahren der Ordnung n (0≤n≤4) angegeben, das es gestattet, sämtliche reellen Nullstellen einer Funktion f ∈ Cn[a,b] zu bestimmen. Das Verfahren ist verwandt mit dem Newton-Verfahren zur Bestimmung einer einfachen reellen Nullstelle. Während die intervallarithmetischen Versionen des Newton-Verfahrens eine Polynomeinschließung der (lokalen) Umkehrfunktion benutzen, wird in dem neuen Verfahren die Funktion selbst durch ein Intervallpolynom der Ordnung n eingeschlossen. Daher entfällt die Einschränkung, daß die Ableitung im Intervall [a,b] nicht verschwinden darf. Ein Verfahren von Krawczyk [5] kommt diesem Verfahren am nächsten. Krawczyk gibt ein Verfahren an, das es gestattet, alle Nullstellen gemeinsam durch ein Intervall optimal einzuschließen. Dieses Verfahren kann man als Sonderfall des hier angegebenen linearen Verfahrens betrachten. Das Verfahren der Ordnung n (1≤n≤4) wird in Kapitel III ausführlich beschrieben. In Kapitel I werden die notwendigen intervallarithmetischen Begriffe bereitgestellt. Um den Zusammenhang zwischen dem neuen Verfahren und dem Newton-Verfahren deutlich zu machen, werden in Kapitel II einige Versionen des Newton-Verfahrens diskutiert. In enger gedanklicher Beziehung mit dem Verfahren der Ordnung n (1≤n≤4) steht ein Verfahren der Ordnung 0, das Apostolates, Kulisch, Nickel [1] angegeben haben. Dieses Verfahren wird in Abschnitt IV.1 besprochen. In Abschnitt IV.2 werden die Anwendungsmöglichkeiten auf Abbildungen des Rn in den Rm untersucht. Zwei Methoden zur Verbesserung der Ergebnisse des Verfahrens werden in Abschnitt IV.3 angegeben. Sie eignen sich besonders für holomorphe Funktionen. Besonders günstige Polynomeinschließungen kann man konstruieren, wenn die betrachtete Funktion selbst ein Polynom ist. Auf diese Möglichkeit wird in Abschnitt IV.4 hingewiesen. Das lineare und das quadratische Verfahren wurden eingehend ihre praktische Verwendbarkeit hin überprüft. Dabei wurde elektronische Rechenanlage IBM 7090 der Gesellschaft für Mathematik und Datenverarbeitung, Bonn, benutzt. Die dabei gewonnenen Erfahrungen werden in Abschnitt III.5 ausführlich dargestellt.

Eine pdf-Version der gesamten Diplomarbeit (66 Seiten) kann beim Autor angefordert werden.

Kontakt:  klaus.kansy @arcor.de
last edit: 2017-02-07